Н.Л. Гольдман
Обратные задачи Стефана
Теория и методы решения
М.: Изд-во МГУ, 1999

Монография посвящена одному из современных направлений исследований в теории некорректных задач --- обратным задачам Стефана для квазилинейных параболических уравнений в областях со свободными границамии. Такие задачи возникают при моделировании и управлении нелинейными процессами с фазовыми переходами в теплофизике и механике сплошной среды. Методы обратных задач на основе вычислительного эксперимента с использованием компьютерной техники дают возможность исследовать сложные нестационарные процессы, обладая высокой информативностью, труднодоступной в физическом эксперименте. В особенности это относится к тем областям техники, которые характеризуются интенсивным протеканием тепловых процессов. Актуальными являются как математическое обоснование постановок обратных задач Стефана, которые все более усложняются в связи с современными потребностями моделирования, так и разработка методов их решения и построение эффективных вычислительных алгоритмов. В монографии разработан и обоснован общий подход в операторном виде к постановкам обратных задач Стефана, состоящих в определении граничных функций и правой части уравнения при различных видах априорной информации о решении прямой задачи. Исследована проблема единственности для обратных задач Стефана.

Предложен и обоснован регуляризирующий вариационный метод для устойчивого приближенного решения этого класса некорректных задач. Благодаря вариационному подходу удалось существенно расширить рамки исследования, включив в него квазилинейные задачи Стефана общего вида.

Разработаны эффективные численные алгоритмы, реализующие предложенный метод и использующие стабилизирующие свойства ограничений качественного характера, наложенных на решение (так называемая, дескриптивная регуляризация). Существенную экономию компьютерного времени обеспечивают разработанные процедуры расчета градиентов минимизируемых функционалов с помощью разностных сопряженных задач. Алгоритмы универсальны в широком классе граничных и коэффициентных обратных задач Стефана.

Приведены результаты численных расчетов для важных практических приложений, связанных с современными технологиями: определены тепловые режимы для процесса кристаллизации непрерывного слитка и для процесса плавления материалов под влиянием мощных лазерных источников энергии.

Для научных работников, специализирующихся в области дифференциальных уравнений, вычислительной математики и ее приложений, а также для аспирантов и студентов старших курсов физико-математических специальностей.